歳をとると時が経つのが早く感じる現象を数式で表してみた

木金と仕事で岡山広島に出張してました．岡山で1泊した翌日，広島への移動までに時間があったので，後楽園＆岡山城でもてくてくしようと計画してたんですが，あいにく雨...．仕事する気にもならず，しょーもないことをぐだぐだ．その結果こんな記事ができあがりました．

歳をとると，時が経つのが早く感じますよね．小さい頃は夏休みって永遠に続くように思われたのに，今ではあっという間に過ぎちゃいます．しかも年々加速してるっちうか，時間が経つのが早くなってってるように感じられます．この現象をモデル化っちうか式で表してみたらどんなことになるかな，ちうわけでちょっと考えてみました．

えっと，こんな駄文にひっかかる人もおらへんやろけど一応お断り．以下の話には科学的な根拠なんてこれっぽっちもないですよ．

まず，実世界の時間 \( t \) に対して主観的な時間 \( T \) を考えます．\( T \) は \( t \) の関数として，\( T(t) \) と書けるとしましょう．そうすると，「歳とると時が経つのが早く感じるよね現象」は，この関数のグラフが下図のようになっている，ということで説明できるでしょう．

横軸が \( t \)，縦軸が \(T(t)\) です．この図は，\( t \) の単位として年齢を採ってみてます．曲線 \(T(t)\) がこんな形をしてると，9歳から10歳までよりも19歳から20歳までの方が短く感じる，と．

さて，この関数 \(T(t)\) を式で表すために，「単位（実）時間あたりの主観時間の長さは，生後の経過（実）時間に反比例する」っちう仮定を置いてみます．言い換えると，「20歳の時に感じる主観時間の流れの速さは，10歳の時のそれの2倍」ってこと．厳密じゃないですが．というわけで，こんな式をでっちあげてみました：

 \[ T'(t) = \frac{dT(t)}{dt}  = \frac{1}{t+1} \]

\( +1 \) にしたのは \( T'(0) = 1 \) にしたかったってだけ．適当な定数入れて \( \frac{a}{t+a} \) とかにしてもええけど，本質的に変わりないのでまあええですよね．

この式が意味するところは，

\[ \frac{T'(9)}{T'(19)} = \frac{T'(19)}{T'(39)} = 2 \]

つまり，19歳の時の流れの速さは9歳の時の2倍，39歳の時の流れの速さは19歳の時の2倍…．まあそんな感じっすよね．

というわけでこの微分方程式を解くと，次式が得られます．初期条件は \( T(0) = 0 \) ね．

\[ T(t) = \log{(t+1)} \]

こうなることは図から見え見えですが．

この式から具体的な値を計算してみると…

\[ T(10) = \log{11} \approx 2.40 \]

\[ T(20) = \log{21} \approx 3.04 \]

\[ T(40) = \log{41} \approx 3.71 \]

\[ T(80) = \log{81} \approx 4.39 \]

となります．これから何が言えるかっちうと…

• 「10歳から20歳まで10年間の主観的経過時間」，「20歳から20年間のそれ」，「40歳から40年間のそれ」がほぼ等しい
• 10歳までの主観的経過時間よりも，その後の人生の主観的経過時間の方が短い（ちなみに \( T(100) \approx 4.6 \) ）

ちうこと…．んー，すごく実感に合ってる気がする．なんとなくそんな感じはしてたけど，こないあからさまに数字に出してまうとなんちうかゾワゾワします．

いやはや，残り短い人生，こんなくだらんこと考えて時間を無駄にしてたらあきませんな．あなたもこんなくだらんもん読んで（以下同文） (^^)